Esta es la clase:

class GoogleUrlApi {

	// Constructor
	function GoogleURLAPI($key,$apiURL = 'https://www.googleapis.com/urlshortener/v1/url') {
		// Keep the API Url
		$this->apiURL = $apiURL.'?key='.$key;
	}

	// Shorten a URL
	function shorten($url) {
		// Send information along
		$response = $this->send($url);
		// Return the result
		return isset($response['id']) ? $response['id'] : false;
	}

	// Expand a URL
	function expand($url) {
		// Send information along
		$response = $this->send($url,false);
		// Return the result
		return isset($response['longUrl']) ? $response['longUrl'] : false;
	}

	// Send information to Google
	function send($url,$shorten = true) {
		// Create cURL
		$ch = curl_init();
		// If we're shortening a URL...
		if($shorten) {
			curl_setopt($ch,CURLOPT_URL,$this->apiURL);
			curl_setopt($ch,CURLOPT_POST,1);
			curl_setopt($ch,CURLOPT_POSTFIELDS,json_encode(array("longUrl"=>$url)));
			curl_setopt($ch,CURLOPT_HTTPHEADER,array("Content-Type: application/json"));
		}
		else {
			curl_setopt($ch,CURLOPT_URL,$this->apiURL.'&shortUrl='.$url);
		}
		curl_setopt($ch,CURLOPT_RETURNTRANSFER,1);
		// Execute the post
		$result = curl_exec($ch);
		// Close the connection
		curl_close($ch);
		// Return the result
		return json_decode($result,true);
	}
}

Para utilizarla necesitamos una clave de Google API.
Y esta es la forma de usarla:

// Primero intanciamos la clase
$key = 'xhjkhzkhfuh38934hfsdajkjaf';
$googer = new GoogleURLAPI($key);

// Acortamos una URL
$shortDWName = $googer->shorten("http://davidwalsh.name");
echo $shortDWName; // returns http://goo.gl/i002

// Y con esto expandimos una URL acortada a su original
$longDWName = $googer->expand($shortDWName);
echo $longDWName; // returns http://davidwalsh.name

Los métodos shorten() y expand() devuelven sus contrapartes. Esta clase proporciona solamente lo básico ya que la API nos da mas cosas, como lista de URL y seguimiento de su uso.

En el tutorial encontraremos los siguientes puntos:

1. Crear una aplicación en Facebook
2. Copiar en tu sitio el fichero xd_receiver.htm
3. Descargar la API de FB y copiarla en tu web
4. Modificar tu tabla de usuarios
5. Crear una página para loguearse con FB Connect
6. Enlazar a fbclogin.php a tu login
7. Otras implementaciones

FUENTE: Facebook Connect Tutorial